Площадь и периметр 3 класс: как объяснить, формулы и 15 задач

Периметр — это длина границы фигуры, а площадь — сколько места она занимает внутри. У прямоугольника 5 см на 3 см периметр 16 см: (5 + 3) × 2. А площадь 15 см²: 5 × 3, ровно пятнадцать квадратиков со стороной сантиметр. Дети путают эти два понятия чаще, чем любые другие в геометрии третьего класса, и не потому что формулы трудные, а потому что не видят, чем одно отличается от другого.

Ниже — как показать разницу дома, формулы и обратные задачи, единицы площади, восемь фигур на клетках и 15 задач с решениями. Все числа посчитаны программой, а фигуры и задачи можно распечатать. Задачи других типов для третьего класса — в статье задачи для 3 класса, а целые контрольные с площадью — в контрольных для 3 класса.

чем отличаются · периметр · площадь · формулы · единицы площади · площадь одна — периметр разный · фигуры на клетках · сложные фигуры · задачи · ошибки · игры дома · когда к специалисту · итог

Чем периметр отличается от площади

Самый понятный способ — показать оба на одной фигуре. Возьмите лист картона или книгу. Периметр — это лента, которой можно обвести край: сколько ленты ушло, такой и периметр. Площадь — это сколько бумажных квадратиков ляжет на картон, чтобы закрыть его целиком.

Что это значит для вас: прежде чем ребёнок начнёт решать задачи, он должен на вопрос «что нужно найти?» отвечать не формулой, а жизнью: «забор — значит, граница, значит, периметр». Если этого нет, формулы будут перепутаны, даже если выучены.

Периметр: длина границы

Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Для любой фигуры можно просто сложить все стороны, и это всегда верно. Для прямоугольника есть короткий путь: противоположные стороны равны, поэтому P = (a + b) × 2. Для квадрата все четыре стороны равны: P = a × 4.

Покажите это на ленте или нитке. Обведите край прямоугольного листа, отрежьте и выпрямите нитку, а потом измерьте линейкой. Ребёнок увидит, что периметр — это обычная длина, просто «загнутая» вокруг фигуры. Поэтому и единицы у него обычные: сантиметры, метры.

Площадь: сколько места внутри

Площадь измеряют квадратиками. Квадрат со стороной 1 см — это 1 квадратный сантиметр, 1 см². Сколько таких квадратиков помещается в фигуре, такая у неё площадь. В прямоугольнике 5 на 3 см помещается 3 ряда по 5 квадратиков, то есть 5 × 3 = 15 см². Отсюда и формула S = a × b: это просто быстрый способ посчитать квадратики рядами.

Нарежьте из цветной бумаги два десятка квадратиков 2 × 2 см и попросите ребёнка закрыть ими прямоугольник, нарисованный на листе. Потом посчитайте: сколько рядов, сколько в ряду. Когда формула «длина на ширину» появляется из собственных рук, её не нужно зубрить.

В учебниках для измерения площади встречается ещё палетка — прозрачная плёнка в клетку. Её кладут на фигуру и считают клетки внутри. Дома палетку легко сделать сами: начертите маркером клетки 1 × 1 см на прозрачном файле.

Формулы и обратные задачи

В третьем классе часто дают обратные задачи: известен периметр или площадь, найти сторону. Здесь главное — не формула, а понимание:

• Периметр квадрата 24 см. Четыре одинаковые стороны дают 24, значит, одна сторона 24 : 4 = 6 см.
• Периметр прямоугольника 30 см, длина 9 см. Длина и ширина вместе — половина периметра: 30 : 2 = 15 см. Ширина 15 − 9 = 6 см.
• Площадь прямоугольника 36 см², ширина 4 см. Сколько раз по 4 помещается в 36? Длина 36 : 4 = 9 см.

Что это значит для вас: если обратные задачи не идут, вернитесь к рисунку. Пусть ребёнок нарисует прямоугольник, подпишет, что известно, и поставит вопрос на нужной стороне. Когда задача нарисована, действие обычно видно само.

Единицы площади

Квадратная единица — это квадрат, сторона которого равна единице длины. Квадратный сантиметр — квадрат 1 × 1 см, квадратный дециметр — 10 × 10 см, квадратный метр — 1 × 1 м.

Главная ловушка — переводы. 1 дм = 10 см, но 1 дм² = 100 см², а не 10. Покажите на клетчатой бумаге: нарисуйте квадрат 10 на 10 см и посчитайте, сколько в нём квадратных сантиметров. Десять рядов по десять — сто. Остальные единицы длины и их переводы собраны в статье про единицы длины.

Площадь одна — периметр разный

Самое полезное задание, чтобы проверить, понял ли ребёнок разницу. Дайте ему 12 одинаковых квадратиков — бумажных, деревянных, кубиков от конструктора — и попросите сложить из них разные прямоугольники.

У всех прямоугольников площадь 12 клеток — квадратиков ведь столько же. А периметр разный: у длинной полоски 1 × 12 он 26, у почти квадратного 3 × 4 — всего 14. Ребёнок, который это увидел своими руками, больше не будет думать, что «большая фигура — значит, и периметр больше».

Фигуры на клетках

На клетчатой бумаге площадь и периметр можно посчитать без формул. Площадь — сколько клеток внутри. Периметр — сколько сторон клеток лежит на границе фигуры. Так считают и в учебниках, когда стороны «в единичных отрезках».

Открыть лист в полном размере для печати

Как считать периметр на клетках без ошибок: начните с одного угла, ведите пальцем по границе и считайте каждую сторону клетки, пока не вернётесь в начало. Внутренние линии между клетками не считаются — только граница.

Обратите внимание на «Ступеньки» и «Крест»: у них периметр такой же, как у прямоугольника, в который они вписаны. А у «Буквы П» и «Домика» — больше: вырез внизу добавляет границе две стороны. «Дорожка» из десяти клеток имеет такой же периметр, как прямоугольник 6 × 5 из тридцати. Это удивляет и детей, и взрослых и хорошо развивает внимание к границе.

Площадь сложной фигуры

Если фигура не прямоугольник, есть два способа. Первый — разбить на прямоугольники. «Букву Г» можно разрезать на прямоугольник 2 × 2 сверху и 5 × 2 снизу: 4 + 10 = 14 клеток. Второй — достроить до прямоугольника и вычесть лишнее: та же «Г» — это прямоугольник 5 × 4 = 20 клеток без пустого угла 3 × 2 = 6 клеток, 20 − 6 = 14.

Периметр сложной фигуры по частям не складывают: внутренние линии разреза не входят в границу. Здесь надёжнее обойти фигуру по краю и сложить все стороны.

15 задач с ответами

Задачи идут от простых к сложным: прямые, обратные, сравнение и составные, единицы и одна со звёздочкой. Перед каждой задачей пусть ребёнок скажет, что нужно найти — границу или место внутри. Решения — под кнопкой.

1. Длина прямоугольника 7 см, ширина 4 см. Найди его периметр и площадь.
2. Сторона квадрата 6 см. Найди его периметр и площадь.
3. Огород имеет форму прямоугольника длиной 9 м и шириной 3 м. Сколько метров забора нужно, чтобы огородить его со всех сторон?
4. Пол в кладовке — прямоугольник 5 м на 4 м. Сколько квадратных метров линолеума нужно, чтобы покрыть пол?
5. Периметр квадрата 24 см. Найди длину его стороны и площадь.
6. Площадь прямоугольника 36 см², ширина 4 см. Найди длину и периметр.
7. Периметр прямоугольника 30 см, длина 9 см. Найди ширину.
8. Площадь квадрата 49 см². Найди длину его стороны и периметр.
9. У одного прямоугольника стороны 6 см и 2 см, у другого — 4 см и 3 см. У какого больше площадь? А периметр?
10. Из прямоугольного листа 8 см на 5 см вырезали квадрат со стороной 2 см. Какой стала площадь листа?
11. Квадраты со стороной 3 см поставили в ряд, 4 штуки вплотную. Найди площадь и периметр получившегося прямоугольника.
12. Стену 4 м на 3 м выложили квадратными плитками со стороной 1 м. Сколько плиток понадобилось?
13. Сколько квадратных сантиметров в 1 дм²? В 3 дм²?
14. Сравни: 2 дм² и 150 см².
15. Со звёздочкой. Из 12 одинаковых квадратиков нужно сложить прямоугольник. Какие прямоугольники получатся и у какого периметр самый маленький?

Открыть задачи в полном размере для печати

Открыть ответы в полном размере

Задача про забор и огород кажется простой, но в ней ловушка: ребёнок видит два числа и умножает их, потому что «огород — значит, площадь». Спросите: «Забор стоит внутри огорода или по краю?» По краю — значит, нужна граница.

Ошибки и что с ними делать

Что это значит для вас: почти все ошибки в этой теме — от того, что ребёнок не видит разницы между границей и местом внутри, а не от неумения считать. Две–три недели работы руками — с лентой, квадратиками, плиткой на полу — убирают их надёжнее, чем лист примеров.

Игры дома

• «Сколько плиток». Плитка в ванной или в прихожей — готовая клетчатая сетка. Сколько плиток в коврике у двери? Какой длины граница коврика в плитках?
• «Забор для игрушек». Из спичек или палочек строить загон для игрушечных зверей: из 12 палочек — какой загон самый просторный? Ответ — квадрат 3 × 3, где 9 клеток внутри.
• «Обои для коробки». Посчитать, сколько квадратиков нужно, чтобы обклеить дно коробки, и сколько ленты — чтобы обвести её край.
• «Угадай фигуру». Взрослый говорит: «площадь 6 клеток, периметр 10». Ребёнок рисует на клетках. Подходит прямоугольник 2 × 3.

Когда это не про старание

Тема площади и периметра держится на пространственном мышлении: увидеть фигуру целиком, отличить границу от внутренности, удержать в голове, какая сторона длина, а какая ширина. Обратите внимание, если при регулярных занятиях:

• ребёнок не может начертить прямоугольник по заданным сторонам даже с линейкой;
• путает стороны, не находит, где длина и где ширина, теряется на клетчатом листе;
• считает клетки по многу раз и каждый раз получает разное число;
• в задаче не может сказать, что нужно найти, даже после разбора;
• похожие трудности есть в письме: теряет строку, путает похожие буквы и цифры.

Пространственные трудности, трудности счёта и трудности с удержанием плана решения выглядят похоже, а помогают при них разные занятия. Какое звено слабее, показывает только очная нейропсихологическая диагностика. Общая картина трудностей со счётом — в статье про дискалькулию. Если вы рядом с Успенским, начните с нейропсихолога для младших школьников. Если далеко, можно начать с онлайн-консультации для родителя: специалист посмотрит тетради, расспросит вас и подскажет, что делать дома. Онлайн-диагностики и онлайн-занятий с ребёнком у центра нет.

Итог

• Периметр — граница, площадь — место внутри. Покажите оба на одной фигуре: лента по краю и квадратики внутри.
• Прямоугольник: P = (a + b) × 2, S = a × b. Квадрат: P = a × 4, S = a × a. У площади единицы всегда квадратные.
• 1 дм² = 100 см², а не 10: проверьте на клетчатом квадрате 10 × 10.
• Одинаковая площадь не значит одинаковый периметр: сложите 12 квадратиков по-разному.
• Перед каждой задачей — вопрос «граница или место внутри?». Он решает половину ошибок.
• Если нужен материал на весь третий класс, есть печатная тетрадь «Математика, 3 класс: примеры, задачи, математические диктанты» за 390 ₽: в четвёртой четверти — периметр и площадь, единицы длины, массы и времени, задачи и «проверь себя», с ответами и решениями.

Источники

Материал информационный и не заменяет очную диагностику. Место темы в программе дано по ходу курса «Математика» для 2–4 класса М. И. Моро и соавторов («Школа России») и сверено с открытыми рабочими программами; в других учебниках порядок тем может отличаться. Механизмы трудностей со счётом и пространственными представлениями — по лекциям курса нейропсихологии из материалов центра. Все фигуры и задачи составлены центром; площадь и периметр фигур посчитаны программой по клеткам, ответы к задачам — программой и проверены формулами.