Деление с остатком: как объяснить ребёнку, проверка и 80 примеров

Деление с остатком — это деление, при котором число не делится нацело и что-то остаётся. 19 конфет по 4 в коробку: получается 4 полные коробки, и 3 конфеты остаются. Записывают так: 19 : 4 = 4 (ост. 3). Число 4 называют неполным частным, 3 — остатком. Главное правило одно: остаток всегда меньше делителя. Проверка тоже одна: 4 × 4 + 3 = 19.

Ниже — как объяснить это ребёнку на предметах и на числовом луче, алгоритм на четыре шага, деление уголком для 3–4 класса, 80 наших примеров и 10 задач с ответами. Все ответы посчитаны и проверены программой, а примеры и задачи можно распечатать на трёх листах A4. Деление без остатка за пределами таблицы разобрано отдельно, в статье про внетабличное умножение и деление, а целые контрольные с остатком — в контрольных для 3 класса.

что это · на предметах · алгоритм · на луче · какие остатки бывают · проверка · с подвохом · за пределами таблицы · уголком · задачи · примеры · карточки и ответы · ошибки · игры · когда к специалисту · итог

Что такое деление с остатком и когда его проходят

Ребёнок уже знает, что 20 : 4 = 5: двадцать делится на четыре поровну. А 19 на 4 поровну не делится. Можно взять пять четвёрок — но это 20, а у нас только 19. Значит, берём четыре четвёрки (16), и остаётся 3. Деление с остатком отвечает на два вопроса сразу: сколько полных групп получилось и сколько осталось.

В начальной школе тему проходят в 3 классе, сразу после табличного и внетабличного деления; в зависимости от учебника — во второй или третьей четверти. Деление уголком с остатком, трёхзначного числа на однозначное, обычно приходит в конце третьего или в четвёртом классе. В 5–6 классе тему повторяют с формулой: делимое = делитель × неполное частное + остаток, или a = b · q + r, где r меньше b. Смысл тот же, что с конфетами.

Что это значит для вас: если таблица умножения ещё не держится, деление с остатком будет даваться тяжело, и дело будет не в остатке. Сначала проверьте таблицу: как её закрепить без зубрёжки, мы разбирали в статье о том, как выучить таблицу умножения.

Как объяснить на предметах

Первые три–четыре раза — только руками. Конфеты, пуговицы, мандарины, кубики — что угодно, лишь бы ребёнок сам раскладывал. Говорите одно и то же: «Раскладываем по четыре. Хватает на полную коробку? Кладём. Не хватает? Это остаток».

Попросите ребёнка после раскладки самому сказать запись: «Девятнадцать разделить на четыре — четыре, и три в остатке». А потом наоборот: вы называете пример, он раскладывает. Когда это получается без запинки, предметы можно убирать и переходить к алгоритму.

Есть два вида деления, и оба встречаются в задачах. «По четыре в коробку» — деление по содержанию: знаем, сколько в группе, ищем, сколько групп. «На четверых поровну» — деление на равные части: знаем, сколько частей, ищем, сколько в каждой. Остаток в обоих случаях — то, что не удалось разложить поровну. Покажите оба на одних и тех же конфетах: ребёнку станет понятно, что запись одна, а вопросы разные.

Алгоритм на четыре шага

Когда предметы уже не нужны, ребёнку нужен порядок действий, одинаковый для любого примера. Разберём на 53 : 7.

1. Вспомнить таблицу на делитель и найти самое большое число, которое не больше делимого. Для 53 на 7: 49 подходит, 56 — уже больше.
2. Неполное частное — второй множитель этого числа: 7 × 7 = 49.
3. Остаток — разность: 53 − 49 = 4.
4. Сравнить остаток с делителем: 4 меньше 7, значит, всё верно.

Что это значит для вас: самый трудный для ребёнка шаг — первый. Он требует «пройтись» по таблице в уме и остановиться вовремя. Если на нём застревает, дайте опору: таблицу на делитель перед глазами, а через неделю — закройте её. Спрашивайте не «сколько будет», а «какое число из таблицы на семь ближе всего к 53, но не больше?».

Деление с остатком на числовом луче

Ещё один способ увидеть остаток — прыгать по лучу. Числовой луч есть в учебниках, и для части детей он понятнее предметов: видно, что прыжков целое число, а до делимого не хватает «кусочка».

Начертите луч на полоске бумаги от 0 до 30 и попросите прыгать карандашом по 6: 6, 12, 18, 24. Следующий прыжок — 30, а нам нужно 29, значит, перепрыгнем. Прыжков четыре, а от 24 до 29 ещё 5 — это остаток.

Какие остатки бывают

Остаток всегда меньше делителя. Это не правило «чтобы было», а смысл: если остаток равен делителю, из него можно сделать ещё одну полную группу. Поэтому при делении на 5 остаток бывает только 0, 1, 2, 3 или 4, а при делении на 9 — от 0 до 8.

В учебниках часто бывает задание «каким может быть наибольший остаток при делении на 7?». Ответ — 6. А вопрос «какие остатки возможны при делении на 4?» — 0, 1, 2, 3. Это удобная проверка понимания: ребёнок, который действует по шаблону, тут путается, а тот, кто понял смысл, отвечает сразу.

Как сделать проверку

В учебниках часто пишут «выполни деление с остатком и сделай проверку». Проверка состоит из двух частей, и обе обязательны:

1. Остаток меньше делителя. 4 < 7 — да.
2. Неполное частное × делитель + остаток = делимое. 7 × 7 + 4 = 53 — да.

Если первое не выполнено, частное взяли слишком маленьким. Если второе — ошибка в таблице или в вычитании. Приучите ребёнка проверять хотя бы каждый второй пример: проверка занимает десять секунд и ловит почти все ошибки.

Хороший приём — пусть ребёнок объясняет проверку вслух вам, как учитель ученику. Когда приходится говорить «умножаю частное на делитель и прибавляю остаток», путать шаги становится труднее.

Примеры с подвохом: ноль и остаток ноль

Два особых случая, на которых ошибаются почти все.

Делимое меньше делителя. 3 : 5 = 0 (ост. 3). Трёх конфет не хватает даже на одну коробку по пять. Полных коробок — ноль, а всё, что было, осталось. Ребёнок часто пишет «нельзя» или меняет числа местами: 5 : 3. Покажите на предметах.

Остаток ноль. 36 : 9 = 4. Число разделилось нацело, остатка нет. В записи обычно так и пишут — без «(ост. 0)», но если учитель просит, можно написать и остаток 0. Ребёнку полезно понять, что деление без остатка — частный случай деления с остатком, а не отдельная тема.

В наборе 3 ниже такие примеры перемешаны с обычными: так видно, замечает ли ребёнок разницу или решает «на автомате».

Двузначное на однозначное за пределами таблицы

87 : 4 в таблице не найти. Здесь помогает тот же приём, что и во внетабличном делении: разложить делимое на удобные слагаемые. Сначала круглые десятки, которые делятся на делитель, потом остальное — по таблице.

Это уровень конца 3 — начала 4 класса. Если внетабличное деление без остатка ещё не идёт, сначала вернитесь к нему: приём и семьдесят примеров — в статье про внетабличное умножение и деление.

Деление с остатком уголком

Когда делимое трёхзначное, раскладывать в уме уже трудно, и деление записывают уголком (столбиком). Делим по разрядам, слева направо: берём первое неполное делимое, находим цифру частного, умножаем, вычитаем, сносим следующую цифру. То, что останется после последней цифры, — остаток.

На что смотреть, когда ребёнок делит уголком:

• Первое неполное делимое выбрано правильно: в 347 : 5 это 34, а не 3, потому что 3 меньше 5.
• Перед записью частного прикинуть, сколько в нём будет цифр: в 347 : 5 первое неполное делимое — десятки, значит, в частном две цифры.
• На каждом шаге разность меньше делителя. Если нет — цифру частного взяли мало.
• Последняя разность — это и есть остаток. Его не «теряют» и не пишут в частное.

Что это значит для вас: уголок держится на трёх вещах сразу — таблице, вычитании и пространственной записи, где каждая цифра стоит в своей клетке. Если ребёнок понимает шаги, а запись «расползается», дайте тетрадь в крупную клетку и пусть каждая цифра занимает одну клетку.

Задачи: когда ответ не равен частному

В задачах на деление с остатком главный подвох — что делать с остатком. Иногда ответ — неполное частное, иногда частное плюс один, иногда нужен сам остаток. Это зависит не от чисел, а от вопроса.

Перед ответом пусть ребёнок вслух скажет: «Остаток — это что? Что с ним делать?» Этот вопрос решает половину задач. Если ребёнок не понимает условие и выбирает действие наугад, прочитайте статью о том, почему ребёнок не понимает условие задачи.

1. В классе 26 учеников. Их рассаживают в автобусе по 4 человека в ряд. Сколько рядов займут ученики?
2. Из 30 м ленты шьют банты, на каждый нужно 4 м. Сколько бантов получится?
3. В коробку помещается 6 ёлочных шаров. Сколько коробок нужно для 40 шаров?
4. 35 конфет раздали поровну 8 детям, как можно больше каждому. Сколько конфет получил каждый и сколько осталось?
5. На санки садятся по 3 ребёнка. Сколько санок нужно для 17 детей, чтобы скатиться всем сразу?
6. Из 50 рублей купили как можно больше тетрадей по 7 рублей. Сколько тетрадей купили и сколько рублей сдачи?
7. В книге 58 страниц. Миша читает по 9 страниц в день. За сколько дней он прочитает книгу целиком?
8. Бабушка разложила 50 пирожков по тарелкам, по 6 на каждую. Сколько тарелок заполнено полностью?
9. Сегодня понедельник. Какой день недели будет через 23 дня?
10. Число при делении на 5 дало 6 и в остатке 4. Какое это число?

80 примеров с ответами

Семь наборов, от простых к сложным. Идите по порядку: следующий набор — когда в предыдущем не больше одной ошибки. Ответы и проверка — под кнопкой, открывайте после решения.

Набор 1. Делитель 2, 3, 4 и 5

Набор 2. Делитель 6, 7, 8 и 9

Набор 3. С подвохом: делимое меньше делителя, остаток 0

Набор 4. Найди делимое

Известны делитель, неполное частное и остаток. Делимое находим проверкой: умножаем и прибавляем остаток.

Набор 5. Найди ошибку

Так мог бы решить одноклассник. Какие записи верные, а какие нет и почему? Это задание тренирует проверку лучше, чем ещё десять примеров.

Набор 6. Двузначное на однозначное за пределами таблицы

Набор 7. Трёхзначное на однозначное, уголком

Карточки для печати и листы ответов

Те же примеры и задачи на трёх листах A4, с местом для частного и остатка, а для уголка — с клетчатыми полями. Положите лист в прозрачный файл и пишите маркером: одну карточку можно решать несколько раз.

Открыть карточку 1 в полном размере для печати

Открыть карточку 2 в полном размере для печати

Открыть карточку 3 в полном размере для печати

Листы ответов можно распечатать отдельно и отдать ребёнку для самопроверки, когда он закончил.

Открыть ответы 1–4 · Открыть ответы 5–8

Ошибки и что за ними стоит

Что это значит для вас: почти все ошибки делятся на две группы. Первая — «механические»: таблица, вычитание, запись. Их лечит проверка и регулярная тренировка. Вторая — смысловые: ребёнок не понимает, что такое остаток. Их лечат только предметы и разговор, а новые примеры не помогают.

Игры с остатком

Пять минут игры часто дают больше, чем лист примеров, особенно если ребёнок устал от тетради.

• «Кому остаток». Горсть орехов или фасоли делите поровну на всех, кто играет. Остаток достаётся тому, кто первым правильно назовёт запись: «двадцать три на троих — по семь, два в остатке».
• «День недели». Сегодня понедельник. Какой день будет через 10 дней? Через 23? Через 30? Чтобы ответить, нужно разделить на 7 и посмотреть на остаток.
• «Лифт». В лифт входят 4 человека. Сколько раз ему подниматься, чтобы увезти 18 человек? А 20? Здесь остаток требует ещё одной поездки.
• «Угадай число». Я задумала число: при делении на 5 оно даёт 3 и в остатке 2. Какое? Потом меняйтесь ролями.

Когда это не про старание

Большинство детей осваивают деление с остатком за две–три недели регулярных занятий по 15 минут. Но бывает, что ребёнок занимается, а результат не меняется. Обратите внимание, если:

• таблица умножения не закрепляется месяцами, даже с опорой;
• ребёнок путает, что делимое, а что делитель, даже после раскладки предметов;
• на предметах понимает, а при записи всё рассыпается;
• в уголке цифры «уезжают» из разрядов, переставляются, пишутся зеркально;
• быстро устаёт: первые примеры верно, к концу листа ошибка на ошибке;
• по чтению и письму таких трудностей нет, а по математике есть.

Счёт держится на нескольких способностях мозга сразу: понимании количества и разрядов, пространственной организации записи, памяти и умении составить план решения и проверить себя. Какое из звеньев слабее, показывает только очная нейропсихологическая диагностика. Общая картина таких трудностей — в статье про дискалькулию. Если вы рядом с Успенским, начните с нейропсихолога для младших школьников; при подтверждённых трудностях центр ведёт коррекцию дискалькулии. Если далеко, можно начать с онлайн-консультации для родителя: специалист посмотрит тетради, расспросит вас и составит план занятий дома. Онлайн-диагностики и онлайн-занятий с ребёнком у центра нет.

Итог

• Деление с остатком — сколько полных групп и сколько осталось. Начинайте с предметов, потом алгоритм, потом примеры.
• Остаток всегда меньше делителя. Проверка: частное × делитель + остаток = делимое.
• Отдельно потренируйте два подвоха: делимое меньше делителя и остаток ноль.
• В задачах решает вопрос: иногда ответ — частное, иногда частное плюс один, иногда нужен остаток.
• За пределами таблицы — удобные слагаемые, для трёхзначных — уголок по разрядам.
• Если нужен материал на весь третий класс, есть печатная тетрадь «Математика, 3 класс: примеры, задачи, математические диктанты» за 390 ₽: в ней отдельная четверть с делением с остатком, столбики «деление с остатком уголком», задачи, «найди ошибку» и «проверь себя», с ответами и решениями.

Источники

Материал информационный и не заменяет очную диагностику. Место темы в программе дано по ходу курса «Математика» для 3–4 класса М. И. Моро и соавторов («Школа России») и сверено с открытыми рабочими программами; в других учебниках порядок тем может отличаться, сверяйтесь с учителем. Механизмы трудностей со счётом — по лекциям курса нейропсихологии из материалов центра. Все примеры и задачи составлены центром самостоятельно; каждый ответ посчитан программой и проверен равенством «делитель × частное + остаток = делимое» и условием «остаток меньше делителя».